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内容简介:
本书是作者在巴黎第七大学讲授分析课程数十年的结晶,其目的是阐明分析是什么,它是如何发展的。本书非常巧妙地将严格的数学与教学实际、历史背景结合在一起,对主要结论常常给出各种可能的探索途径,以使读者理解基本概念、方法和推演过程。作者在本书中较早地引入了一些较深的内容,如在第一卷中介绍了拓扑空间的概念,在第二卷中介绍了Lebesgue理论的基本定理和Weierstrass椭圆函数的构造。
本书第一卷的内容包括集合与函数、离散变量的收敛性、连续变量的收敛性、幂函数、指数函数与三角函数;第二卷的内容包括Fourier级数和Fourier积分以及可以通过Fourier级数解释的Weierstrass的解析函数理论。
书籍目录:
Preface
I - Sets and Functi***
§1. Set Theory
1 - Membership, equality, empty set
2 - The set defined by a relation. Intersecti*** and uni***
3 - W*** numbers. Infinite sets
4 - Ordered pairs, Cartesian products, sets of subsets
5 - Functi***, maps, correspondences
6 - Injecti***, surjecti***, bijecti***
7 - Equipotent sets. Countable sets
8 - The different types of infinity
9 - Ordinals and cardinals
§2. The logic of logicians
II - Convergence: Discrete variables
§1. Convergent sequences and series
0 - Introduction: what is a real number?
1 - Algebraic operati*** and the order relation: axioms of R
2 - Inequalities and intervals
3 - Local or asymptotic properties
4 - The concept of limit. Continuity and differentiability
5 - Convergent sequences: definition and examples
6 - The language of series
7 - The marvels of the harmonic series
8 - Algebraic operati*** on limits
§2. Absolutely convergent series
9 - Increasing sequences. Upper bound of a set of real number
10 - The function log x. Roots of a positive number
11 - What is an integral?
12 - Series with positive terms
13 - Alternating series
14 - Classical absolutely convergent series
15 - Unconditional convergence: general case
16 - Comparison relati***. Criteria of Cauchy and d'Alembert
17 - Infinite limits
18 - Unconditional convergence: associativity
§3. First concepts of ***ytic functi***
19 - The Taylor series
20 - The principle of ***ytic continuation
21 - The function cot x and the series ∑ 1/n2k
22 - Multiplication of series. Composition of ***ytic functi***. Formal series
23 - The elliptic functi*** of Weierstrass
III- Convergence: Continuous variables
§1. The intermediate value theorem
1 - Limit values of a function. Open and closed sets
2 - Continuous functi***
3 - Right and left limits of a monotone function
4 - The intermediate value theorem
§2. Uniform convergence
5 - Limits of continuous functi***
6 - A slip up of Cauchy's
7 - The uniform metric
8 - Series of continuous functi***. Normal convergence
§3. Bolzano-Weierstrass and Cauchy's criterion
9 - Nested intervals, Bolzano-Weierstrass, compact sets
10 - Cauchy's general convergence criterion
11 - Cauchy's criterion for series: examples
12 - Limits of limits
13 - Passing to the limit in a series of functi***
§4. Differentiable functi***
14 - Derivatives of a function
15 - Rules for calculating derivatives
16 - The mean value theorem
17 - Sequences and series of differentiable functi***
18 - Extensi*** to unconditional convergence
§5. Differentiable functi*** of several variables
19 - Partial derivatives and differentials
20 - Differentiability of functi*** of class C1
21 - Differentiation of composite functi***
22 - Limits of differentiable functi***
23 - Interchanging the order of differentiation
24 - Implicit functi***
Appendix to Chapter III
1 - Cartesian spaces and general metric spaces
2 - Open and closed sets
3 - Limits and Cauchy's criterion in a metric space; complete spaces
4 - Continuous functi***
5 - Absolutely convergent series in a Banach space
6 - Continuous linear maps
7 - Compact spaces
8 - Topological spaces
IV - Powers, Exponentials, Logarithms, Trigonometric Functi***
§1. Direct c***truction
1 - Rational exponents
2 - Definition of real powers
3 - The calculus of real exponents
4 - Logarithms to base a. Power functi***
5 - Asymptotic behaviour
6 - Characterisati*** of the exponential, power and logarithmic functi***
7 - Derivatives of the exponential functi***: direct method
8 - Derivatives of exponential functi***, powers and logarithms
§2. Series expansi***
9 - The number e. Napierian logarithms
10 - Exponential and logarithmic series: direct method
11 - Newton's binomial series
12 - The power series for the logarithm
13 - The exponential function as a limit
14 - Imaginary exponentials and trigonometric functi***
15 - Euler's relation chez Euler
16 - Hyperbolic functi***
§3. Infinite products
17 - Absolutely convergent infinite products
18 - The infinite product for the sine function
19 - Expansion of an infinite product in series
20 - Strange identities
§4. The topology of the functi*** Arg(z) and Log z
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书籍介绍
本书是作者在巴黎第七大学讲授分析课程数十年的结晶,其目的是阐明分析是什么,它是如何发展的。本书非常巧妙地将严格的数学与教学实际、历史背景结合在一起,对主要结论常常给出各种可能的探索途径,以使读者理解基本概念、方法和推演过程。作者在本书中较早地引入了一些较深的内容,如在第一卷中介绍了拓扑空间的概念,在第二卷中介绍了Lebesgue理论的基本定理和Weierstrass椭圆函数的构造。
本书第一卷的内容包括集合与函数、离散变量的收敛性、连续变量的收敛性、幂函数、指数函数与三角函数;第二卷的内容包括Fourier级数和Fourier积分以及可以通过Fourier级数解释的Weierstrass的解析函数理论。
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书籍真实打分
故事情节:8分
人物塑造:7分
主题深度:5分
文字风格:8分
语言运用:5分
文笔流畅:8分
思想传递:8分
知识深度:9分
知识广度:7分
实用性:8分
章节划分:9分
结构布局:8分
新颖与独特:9分
情感共鸣:6分
引人入胜:8分
现实相关:7分
沉浸感:9分
事实准确性:6分
文化贡献:3分